您好,圆的切线证明题的一般思路如下:
1. 画出圆和切线;
2. 从切点向圆心作一条线段,这条线段与切线垂直;
3. 利用勾股定理,得到切线上的两个线段的长度;
4. 利用相似三角形的性质,得到圆心到切点的距离与切线上的线段长度的比值;
5. 证明这个比值等于切线的斜率,即证明切线与圆的切点处的切线方向相切。
需要注意的是,不同的圆和切线可能需要使用不同的证明方法,但是以上思路可以作为一般的参考。
一、圆的方程为:(x — a)² + (y — b)² = r²
1. 已知:圆的方程为:(x - a)² + (y — b)² = r², 圆上一点P(x0, y0)。
求过点P的切线方程
解: 圆心C(a, b);直线CP的斜率:k1 = ( y0— b) / ( x0- a)
因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = — (x0 - a) / (y0 - b)
根据点斜式, 求得切线方程:
- y0 = k2 (x - x0)
y — y0 = [— (x0 - a) / (y0 - b)] (x - x0)
整理得:(x — x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) = 0 (切线方程公式)
展开后: x0x - ax + ax0 + y0y - by + by0 - x0² - y0² = 0 (1)
因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:
(x0 - a)² + (y0 - b)² = r²
化简: x0² - 2ax0 + a² + y0² - 2by0 + b² = r²
移项: — x0² - y0² = —2ax0 — 2by0 + a² + b² - r² (2)
由(2)代入(1), 得:x0x — ax + ax0 + y0y - by + by0 + (-2ax0 — 2by0 + a² + b² — r²) = 0
化简:(x0x - ax — ax0 + a²) + (y0y — yb- by0 + b²) = r²
整理: (x0 — a)(x - a) + (y0 — b)(y — b) = r²
变式—1 已知:圆的方程为:(x — a)² + (y — b)² = r² , 圆外一点P(x0, y0)
二、对于圆的一般方程:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 过圆上的点的切线方程.
2. 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0, 圆上一点P(x0, y0)
解: 圆心C( -D/2, -E/2 )
直线CP的斜率:k1 = (y0 + E/2) / (x0 + D/2)
因为直线CP与切线垂直, 所以切线的斜率:k2 = -1/k1 = — (x0 + D/2) / (y0 + E/2)
根据点斜式, 求得切线方程:
y - y0 = k2 (x - x0)
y - y0 = [- (x0 + D/2) / (y0 + E/2)] (x — x0)
整理得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 — Dx0/2 — Ey0/2 -x0² - y0² = 0 (3)
因为点P在圆上, 所以它的坐标满足方程:
x0² + y0² + Dx0 + Ey0 + F = 0
移项: — x0² - y0² = Dx0 + Ey0 + F (4)
由(4)代入(3), 得:x0x + y0y + Dx/2 + Ey/2 - Dx0/2 — Ey0/2 + Dx0 + Ey0 + F = 0
整理, x0x + y0y + D(x + x0)/2 + E(y + y0)/2 + F = 0
变式—2 已知:圆的方程为:x² + y² + Dx + Ey + F = 0 , 圆外一点P(x0, y0)
圆的剖视图分为横剖面和竖剖面。横剖面是沿着圆平行于底面的平面截取圆的一部分;竖剖面是沿着圆垂直于底面的平面截取圆的一部分。
从横剖面看,圆形为半圆或直径;从竖剖面看,圆形为扇形或弧线。剖视图的大小与圆的实际大小和截取平面的位置有关,因此需要根据具体情况进行判断。